Para que serve a Matemática Aplicada

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1. Para perceber de Mecânica

Foto retirada da página da NASA

 

A posição, velocidade, aceleração e força, conceitos fundamentais da Mecânica, são grandezas representadas matematicamente por campos vectoriais. O Cálculo Diferencial de Várias Variáveis é essencial para as manipulações mais elementares destas grandezas físicas: por exemplo, o campo vectorial velocidade é a derivada em ordem ao tempo do campo vectorial posição. Por sua vez, a aceleração é obtida derivando a velocidade em ordem ao tempo. Também o Cálculo Integral de Várias Variáveis é crucial para se estudar a Mecânica. O trabalho de uma força ao longo de uma trajectória é calculado através de um integral de linha. Forças cujo trabalho realizado ao longo de qualquer caminho, unindo dois pontos fixos arbitrários, seja independente do caminho escolhido - o trabalho depende só das posições inicial e final - chamam-se forças conservativas. Um exemplo é a força gravítica Newtoniana. A uma força conservativa podemos associar uma Energia Potencial . Matematicamente estas ideias estão associadas ao conceito de gradiente. Um dos princípios fundamentais da Física, o Princípio da Conservação da Energia - que diz que a soma das energias cinética e potencial de um corpo é constante num sistema conservativo - é um corolário directo da Lei de Newton F=ma e do Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha.

2. Para perceber a Mecânica dos Fluidos

Foto retirada da página do Windsurf Magazin

 

Muitas aplicações tecnológicas baseiam-se na Mecânica dos Fluidos e/ou a sua estrutura é grandemente afectada pelas leis de movimento dos fluidos. Um exemplo evidente é o da aerodinâmica de um avião, associada a uma boa performance e a um mais baixo consumo de combustível, que é intensivamente testada em todos os novos protótipos em túneis de vento. Um exemplo mais surpreendente é fornecido pelo estudo dos problemas do trânsito numa grande cidade que pode ser modelado por um problema de mecânica dos fluidos fazendo-se variar a velocidade, compressibilidade, viscosidade e outras propriedades do fluido consoante a situação concreta que se pretende estudar. Uma das equações fundamentais da Mecânica dos Fluidos é a Equação de Navier-Stokes. O modelo matemático associado à esta equação, campo vectorial da velocidade do fluido, é traduzido pelo Cálculo Diferencial de Várias Variáveis. Os operadores Laplaciano, Divergência e Rotacional que se aprendem a manipular em Matemática Aplicada são ferramentas fundamentais na teoria. Por exemplo, se um fluido homogéneo tiver a propriedade de ser incompressível, essa propriedade representa-se matematicamente pela equação Div(v) = 0 onde v é o campo vectorial da velocidade do fluido. Por sua vez os resultados do Cálculo Integral de Várias Variáveis são importantes para se descreverem as leis de conservação (ou de continuidade) da Mecânica dos Fluidos.

3. Para estudar a Cobertura do Pavilhão Atlântico

Foto retirada da página do
 Parque das Nações

 

Para construir uma estrutura como a cobertura do Pavilhão Atlântico ou a célebre placa do arquitecto Siza Vieira, temos de conseguir responder a várias questões que de imediato se põem, por exemplo:

  • Qual é a área que ocupa?

  • Quanto pesa a cobertura (qual é a sua massa)?

  • Em que pontos devem ser colocados os apoios e que cargas devem poder suportar?

  • Que ângulos com a vertical devem ou podem os apoios fazer?

  • Para responder a estas questões precisamos de um modelo matemático da estrutura. Como a extensão em comprimento e largura da cobertura é muito maior do que a sua espessura, é muito útil e uma boa aproximação considerar a cobertura como uma superfície. Após termos a descrição da superfície em termos de uma equação ou de uma parametrização e conhecendo a densidade efectiva de massa por unidade de área podemos calcular a massa da cobertura, a sua área, os momentos de inércia relativos a vários eixos - o momento de inércia mede a capacidade de rotação da estrutura em torno de um eixo - e assim calcular as cargas exercidas sobre os apoios. Podemos também calcular as equações das rectas perpendiculares à cobertura. Em Matemática Aplicada tudo isto se aprende a calcular através do estudo de superfícies e integrais de superfície.

  • 4. Para um bom trabalho Numérico

    Foto retirada da página do
    Computational High Energy Physics Group.  A foto representa um supercomputador Cray onde são realizados cálculos numéricos muito exigentes

     

    A maioria os problemas práticos de Engenharia necessitam ser analisados com a ajuda de métodos numéricos. Por muito sofisticado que seja o software a utilizar para se tratar numericamente um problema que envolva os tópicos descritos acima, uma utilização eficiente desse software e um trabalho numérico de boa qualidade só é possível quando se entende com solidez a teoria e os conceitos correspondentes. Um dos passos para se atingir esses objectivos é aprender bem as ideias apresentadas na Matemática Aplicada.

    5.
    algumas sugestões
    A procura de uma resposta

    de trabalho para a disciplina
     

    O trabalho, sendo opcional, tem um peso de 25% - 5 valores.
    Poderá ser um trabalho de índole teórica, prática e/ou de aplicação usando as novas tecnologias e equipamentos específicos de Laboratórios de Eng. Mecânica.

    » O tema é livre.
    Criatividade, inovação e respectiva resolução de problemas são aspectos a ter em conta. Não esquecer das aplicações de assuntos estudados na disciplina de Matemática Aplicada, ou outros relacionados, em áreas da engenharia mecânica.

    No entanto,  poderá fazer trabalho sobre:
    » Análise pormenorizada de assuntos tratados nas aulas e outros que lhe estejam relacionados;
    » Séries, Integral e Transformada de Fourie e suas aplicações à Engenharia Mecânica;
    » Equações diferenciais e sua aplicação em sistemas dinâmicos;
    » Equações às derivadas parciais;
    » Campos vectoriais;
    » Implementação, usando o Derive, Matlab, Mathematica ou o Maple, de alguns modelos matemáticos estudados;
    » Usando o MatLab&Simulink implementar um simulador de um sistema dinâmico/mecânico simples;
    » Exploração e aprofundamento de aplicações do integral de linha:
    Centro de massa, Momentos de inércia, Rotacional, Divergência, teorema de Stokes ...
    » Estudo e aplicações do integral de Superfície;
    » Modelação Matemática;
    » Aplicação da Matemática no desenvolvimento das novas Tecnologias de Informação ao serviço das áreas da engenharia mecânica;
    » Resolução de exercícios de Exame e outros ... de aplicação;
    » Animação de algoritmos - Ensino Assistido por Computador
    » Maquinar objectos 3D, por exemplo o da 1ªFrequência - Teste A de 14Dez02, podendo ser alteradas as dimensões do mesmo. Juntar relatório técnico e científico. Poderão ser maquinados outros objectos que existem na sebenta ou propor outros ...

    Notas:
    a) O trabalho deverá ser entregue até ao dia do exame da época normal;
    b) A nota obtida no trabalho pode ser aproveitada para a época de recurso;
    c) A nota final na disciplina depende do processo de avaliação optado pelo aluno.